Klare cijfertekst

Vigenèrecijfer

Het Vigenèrecijfer is een van de klassieke methoden voor encryptie, voor het eerst beschreven in 1553. Het werkt zo: je schrijft elke letter een waarde toe (A=0, B=1, …, Z=25) en kiest een wachtwoord. Een tekst versleutelen doe je dan door de tekst en het wachtwoord bij elkaar op te tellen en 26 van het resultaat af te trekken als deze meer of gelijk is aan 26. Bijvoorbeeld:

geheimverhaal 6 4 7 4 8 12 21 4 17 7 0 0 11
wachtwoordwac   22 0 2 7 19 22 14 14 17 3 22 0 2 +
28 4 9 11 27 32 35 18 34 10 22 0 13 MOD 26
cejlbijsikwan 2 4 9 11 1 6 9 18 8 10 22 0 13

Je stuurt nu de zogenaamde cijfertekst ‘cejlbijsikwan’ op naar je partner-in-crime, en als de andere partij het wachtwoord ‘wachtwoordwac’ kent kan hij het originele bericht reconstrueren:

cejlbijsikwan 2 4 9 11 1 6 9 18 8 10 22 0 13
wachtwoordwac   22 0 2 7 19 22 14 14 17 3 22 0 2
-20 4 7 4 -18 -16 -5 4 -9 7 0 0 11 MOD 26
geheimverhaal 6 4 7 4 8 12 21 4 17 7 0 0 11

Klare cijfertekst

Deze methode van versleuteling kan inmiddels wel gebroken worden, maar heeft zich tot ten minste 1863 dapper verzet en verdiende daarom de titel ‘de onbreekbare versleuteling’. Als je op eenzelfde manier nadenkt als ik, dan denk je nu ‘zijn er ook cijferteksten die in plaats van een onleesbare brei letters toevallig een woord vormen?’ Het antwoord is ja! Heel veel zelfs, bijvoorbeeld:

aanbied
nooddak +

nobelen

En als je gelijk met mij verder denkt dan wordt het een uitdaging om hier het maximale uit te halen. aardwezens+mengschaal=meejoggend is de langste som die je kan maken, al kan je door woorden te combineren nog iets langere combinaties vinden. Door het opsplitsen van alleen de cijfertekst wordt dit mogelijk: meerdimensionaal + vertragingsactie = hiv-kuis-maya-op-tip. En door het opdelen van zowel het wachtwoord als de cijfertekst krijgen we: aandelenkoersindex + aft-beiaard-avaleren = af-geiten-bremstruik. Als we de originele tekst ook nog zouden opdelen is het niet spannend meer, omdat het dan makkelijk is om een combinatie van woorden te kiezen die werkt, en die dan gewoon te herhalen.

Hier naar kijkende valt het meteen op dat je kan proberen om nog een stapje encryptie te doen, aanbied + nooddak = nobelen, maar wat is nooddak + nobelen? Het onleesbare ‘acphoex’ helaas. Gelukkig zijn er een paar uitverkoren setjes die een extra stap toe laten, zoals: alias + sagen = sloef, sagen + sloef = kluis. Helaas volgt hierop cwimx. Het lijkt me duidelijk dat we de langste reeks willen vinden:

4 woorden: autologisch dut-waag-hemd dom-klomp-wok gif-glos-waan

5 woorden: imps cola kaas mols wolk

6 woorden: aub jas jut sul boe tip

7 woorden: bit vws wel rad neo eer rif

(vws = ministerie voor volksgezondheid welzijn en sport)

Hierna houdt het toch echt op, terwijl ik zo had gehoopt op een reeks die zichzelf herhaald. Waarom zouden we die niet kunnen vinden?

Periodiek

Als we even alleen naar de waardes achter de letters kijken (2 in plaats van ‘c’, en t = 20) en maar één letter volgen door alle iteraties heen. Neem het geheime woord ‘appel’ en het wachtwoord ‘boven’. De eerste twee letters hebben waardes 0(a) en 1(b), en deze maken samen 1(b). De eerste letter van het volgende woord wordt 1+1=c(2) en daarna 2+1=3(d) etc. De reeks die hier uit volgt zal vele bekend voorkomen, het is namelijk de Fibonacci reeks. In dit geval mag een getal alleen nooit boven de 25 uitkomen, dus op een circulaire nummerlijn.

Na 84 stappen zal deze reeks zich herhalen (we komen weer uit bij 0 en 1). Het is logisch dat dit uiteindelijk gebeurd omdat er maar 26² mogelijke paren van 2 getallen zijn, maar het hoeft niet altijd 84 stappen te kosten. Als we als voorbeeld namelijk appel en naald hadden gekozen (a=0, n=13) dan waren we veel sneller klaar geweest: 0+13=13, 13+13=26=0, etc. Hieronder zie je alle periodes (hoe lang het duurt voor we terug zijn bij af) die zich voordoen als we alle beginwaardes proberen. Elke opeenvolging van 2 waardes is hier te vinden:

Lengte Periode
1 0 0 0 …
3 0 13 13 0 13 …
28 0 2 2 4 6 10 16 0 16 16 6 22 2 24 0 24 24 22 20 16 10 0 10 10 20 4 24 2 0
28 0 4 4 8 12 20 6 0 6 6 12 18 4 22 0 22 22 18 14 6 20 0 20 20 14 8 22 4 0
28 0 8 8 16 24 14 12 0 12 12 24 10 8 18 0 18 18 10 2 12 14 0 14 14 2 16 18 8 0
28 2 10 12 22 8 4 12 16 2 18 20 12 6 18 24 16 14 4 18 22 14 10 24 8 6 14 20 8 2
28 2 6 8 14 22 10 6 16 22 12 8 20 2 22 24 20 18 12 4 16 20 10 4 14 18 6 24 4 2
28 2 8 10 18 2 20 22 16 12 2 14 16 4 20 24 18 16 8 24 6 4 10 14 24 12 10 22 6 2
84 0 1 1 2 3 5 8 13 21 8 3 11 14 25 13 12 25 11 10 21 5 0 5 5 10 15 25 14 13 1 14 15 3 18 21 13 8 21 3 24 1 25 0 25 25 24 23 21 18 13 5 18 23 15 12 1 13 14 1 15 16 5 21 0 21 21 16 11 1 12 13 25 12 11 23 8 5 13 18 5 23 2 25 1 0
84 0 3 3 6 9 15 24 13 11 24 9 7 16 23 13 10 23 7 4 11 15 0 15 15 4 19 23 16 13 3 16 19 9 2 11 13 24 11 9 20 3 23 0 23 23 20 17 11 2 13 15 2 17 19 10 3 13 16 3 19 22 15 11 0 11 11 22 7 3 10 13 23 10 7 17 24 15 13 2 15 17 6 23 3 0
84 0 7 7 14 21 9 4 13 17 4 21 25 20 19 13 6 19 25 18 17 9 0 9 9 18 1 19 20 13 7 20 1 21 22 17 13 4 17 21 12 7 19 0 19 19 12 5 17 22 13 9 22 5 1 6 7 13 20 7 1 8 9 17 0 17 17 8 25 7 6 13 19 6 25 5 4 9 13 22 9 5 14 19 7 0
84 1 3 4 7 11 18 3 21 24 19 17 10 1 11 12 23 9 6 15 21 10 5 15 20 9 3 12 15 1 16 17 7 24 5 3 8 11 19 4 23 1 24 25 23 22 19 15 8 23 5 2 7 9 16 25 15 14 3 17 20 11 5 16 21 11 6 17 23 14 11 25 10 9 19 2 21 23 18 15 7 22 3 25 2 1
84 1 4 5 9 14 23 11 8 19 1 20 21 15 10 25 9 8 17 25 16 15 5 20 25 19 18 11 3 14 17 5 22 1 23 24 21 19 14 7 21 2 23 25 22 21 17 12 3 15 18 7 25 6 5 11 16 1 17 18 9 1 10 11 21 6 1 7 8 15 23 12 9 21 4 25 3 2 5 7 12 19 5 24 3 1
84 1 5 6 11 17 2 19 21 14 9 23 6 3 9 12 21 7 2 9 11 20 5 25 4 3 7 10 17 1 18 19 11 4 15 19 8 1 9 10 19 3 22 25 21 20 15 9 24 7 5 12 17 3 20 23 17 14 5 19 24 17 15 6 21 1 22 23 19 16 9 25 8 7 15 22 11 7 18 25 17 16 7 23 4 1

Dit laat direct zien waarom een herhalende reeks vinden zo lastig is. Bijna alle letter opeenvolgingen zitten in periodes van 84 lang, en dat gaat natuurlijk nooit lukken – het duurt te lang voor we weer thuis zijn. Laten we het onzelfs eerst eens toestaan om de letters van het alfabet op een andere volgorde te zetten (of welke waardes we aan welke letters toewijzen, maar net hoe je het wil zien). Kunnen we dan een zichzelf herhalende rij maken?

Allereerst kunnen we gebruik maken van de periode van 1 lang door v=0 te maken in het alfabet, dan zijn we er al met een beetje hulp van een zeker toeristenkantoor: vvv+vvv= vvv vvv vvv vvv…
Die van 3 kan ook prima, laten we v=0 en d=13 maken zodat d+d=v wordt: vvv dvd dvd vvv dvd dvd vvv
Die van 28 wordt al zeer lastig maar het alfabet acdepxriljtonqksgubvmwhyfz past hier en geeft:

tab + kam = fan nar tab haf rag dak lap tab bah dak mat haf gal nar dak kam gal pad mat fan bah gal lap fan rag pad tab kam …..

De a hier met een periode 1 in het midden laten is natuurlijk wel erg handig voor ons, maar niet zo mooi. Het is het leukst als de periode van elke positie (eerste, tweede en derde letter) in ieder geval langer is dan 1. Om zo’n oplossing te realiseren moeten we ook de lengte van het alfabet veranderen, een x of q kunnen we toch wel missen. Hierdoor krijgen we namelijk compleet andere periodes – met een alfabet van 22 tekens hebben we bijvoorbeeld een langste periode van maar 30! De maximale periode van een bepaalde alfabetlengte is altijd degene die begint met 0 1, een normale Fibonacci reeks op een circulaire getallenlijn. De lengtes van deze reeks voor iedere “alfabetgrootte” wordt de Pisano reeks genoemd:

π(n) = 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, 24, 18, 60, 16, 30, 48, 24, 100, 84, 72, 48, 14, 120, 30, 48, 40, 36, 80, 24, 76, 18, 56

Dus kandidaten voor alternative alfabetgroottes zijn π(24) = 24 en π(29) = 14. Een alfabet van 24 letters, met een maximale periode van 24 levert in precies de juiste volgorde een prachtige reeks op:

pmkhfnaqgeruivtbjwdslocx: pek + hok = haf aha eer bij pok bed bal abt oor hip per hor hal aha eek big por bed baf abc ook hip pek hok ….

Het vinden van deze reeks bleek nog een aardige uitdaging, bedenk je maar hoeveel alfabetten er zijn van verschillende lengtes en hoeveel woordcombinaties er te proberen zijn

Betekenis

De ultieme toepassing van dit soort esoterie is natuurlijk het kunnen maken van een gedichtje. Dat wil zeggen dat regel a + regel b = regel c. Met enige betekenis. Dit bleek echter ontzettend lastig. Wat betreft het gewone alfabet heb ik dit al heel snel opgegeven. Het abc heeft simpelweg niet genoeg woordsetjes om iets zinnigs mee te kunnen zeggen.

Het beste alfabet ontdekken, waarmee een gedicht misschien wel kan slagen, is nog een heuze uitdaging. Gelukkig hoeven we niet per se het beste alfabet te vinden, en is ‘heel goed’ misschien goed genoeg. Zo’n alfabet kunnen we vinden met statistische methodes (ook wel genetische algoritmes). Resultaat is het schitterende alfabet ewdbkfnopxvjraizgytulhsqmc. Waar het abc slechts 5649 woordsetjes oplevert die samen weer een woord vormen, zijn dat er voor het ewd maarliefst 70567. Het opent daarmee de deur naar iets betekenisvols.


Pensioenpolitiek:

dekkingsgraden

verstrekkingen? het

regent geleuter.


Consumenten:

we zitten

we zeuren

de kijker

En een poging om een vorm te hebben, nog 2 haikus:


een wintervogel.

timbre gepieker. als

tikken pelmolen.


een algoritme

gereed. zotheid, een

getaltsunami.

Ik daag iedereen uit om meer gedichtjes te vinden, ik zal binnekort een alle software en lijstjes publiceren.

Substitutie encryptie

Nog een vraag voor de ambitieuze lezer, bij het maken van deze post heb ik ook met andere klassieke versleuteltechnieken gespeeld. Specifiek rotatie, ook wel Caesarcijfer.
De opgave is: vind een woord waarbij als je elke letter met n opschuift in het alfabet je weer een woord krijgt. Ik heb er nog geen gevonden van +23 en +24, dus suggesties zijn zeer welkom. Ook betere oplossingen dan die hier onder zou ik leuk vinden


Langste woord wat een woord blijft na het toepassen van de rotatie:

rot 1 aktes bluft
rot 2 maf och
rot 3 orka rund
rot 4 ransaap verweet
rot 5 nova staf
rot 6 fusion layout
rot 7 hitte opaal
rot 8 klad stil
rot 9 breve kanen
rot 10 cuba melk
rot 11 opzit zakte
rot 12 doof paar
rot 13 gevat tring
rot 14 daar roof
rot 15 etat tipi
rot 16 doop teef
rot 17 bunny sleep
rot 18 brits tjalk
rot 19 flap yeti
rot 20 boter vinyl
rot 21 ets zon
rot 22 dik zeg
rot 23 ?
rot 24 ?
rot 25 abbot zaans
Alfabet spiegelen: toffig  gluurt

Orde 10

Voor een aantal projectjes waar ik momenteel mee bezig ben liep ik er tegen aan dat mijn corpus van Nederlandse taal te klein is (ongeveer 1 miljard woorden). Het bleek moeilijk om zinnige dingen te zeggen over wat minder voorkomende woorden.

Recentelijk heb ik dus mijn best gedaan om een groter corpus te creëren, om een concreet doel te hebben heb ik besloten om een woordvierkant te zoeken van 10 x 10, de heilige graal in de lologica. Alle 10 letter woorden uit mijn huidige corpus kunnen samen niet zo’n vierkant vormen.

Engels

In het Engels zijn vele serieuze pogingen gedaan in de afgelopen 100 jaar, de meest succesvolle is van Rex Gooch in 2004 met 692847 woorden en maar liefst een jaar computatie. Dit woordvierkant gebruikt helaas 2 onzin dorpjes en een woord met een streepje (Een Turkse en een Guineese plaats beide van 100 inwoners), maar wordt wel gezien als oplossing. Dus we houden dat voorlopig aan als maatstaf voor een Nederlandse variant.

 d e s c e n d a n t
 e c h e n e i d a e
 s h o r t c o a t s
 c e r b e r u l u s
 e n t e r o m e r e
 n e c r o l a t e r
 d i o u m a b a n a
 a d a l e t a b a t
 n a t u r e n a m e
 t e s s e r a t e d

“Echeneidae” is met een hoofdletter, “Dioumabana” en “Adaletabat” zijn kleine dorpjes, en “nature-name” heeft een streepje.

Eerste poging

Ik heb eerst berekend hoeveel 10-letter woorden er nodig zijn om een redelijke kans op minstens één vierkant te hebben, dat zijn er ongeveer 250000. Toen ik 2.5 miljard woorden in m’n corpus had was ik op dit punt. De data is nu nog redelijk betrouwbaar: nieuwsartikelen, boeken, staatsdocumenten, rechtspraak (een miljard woorden!) woordenboeken, ondertiteling, een hoop grote Nederlandse websites en Wikipedia.

Helaas leverde dit nog geen fatsoenlijk vierkant op. Een serieuze poging dataverzameling later zat ik op 4.4 miljard woorden. Dit keer is er een heel hoop internettekst bijgekomen, simpelweg data verzameling van websites maar ook enkele fora. Hierin vinden we 400.000 verschillende 10 letter woorden die minstens 3 keer voorkomen. Daarmee maken we 65 vierkanten van lage kwaliteit, de beste is deze:

 e s c a p e g a m e
 s t o l o n i f e r
 c o l l e g e d a g
 a l l u d e r e n d
 p o e d e l e n d e
 e n g e l a n d e n
 g i e r e n m e r k
 a f d e n d e r d e
 m e a n d e r d e n
 e r g d e n k e n d

– R. stolonifer (zwarte broodschimmel)
– er zijn meerdere Nederlandse plaatsen genaamd Engeland.
– gierenmerk is een goedkoop merk
– ergdenkend is oud-Nederlands, in de klasse weldenkend en omdenkend.

Oplossing

Ideaal is het niet, en ook niet beter dan de Engelse variant. Dus ik heb nog een poging gedaan. 6 miljard woorden, waarvan 500.000 unieke 10 letter woorden met een frequentie van minimaal 3. De belangrijkste extra bronnen zijn de grote Nederlandse fora waarvan ik nu een volledige “back-up” heb, de kwaliteit van deze tekst is natuurlijk lager dus we moeten wat meer spitten. Hiermee vinden we na een week de computer te laten draaien 1040 vierkanten waarvan de beste:

 r a s k a k k e r s
 a n t a l i a n e n
 s t a m l e n g t e
 k a m e e l g e e l
 a l l e r d o l s t
 k i e l d i e p t e
 k a n g o e r o e s
 e n g e l p o o r t
 r e t e s t e r k e
 s n e l t e s t e n

Antalianen zijn mensen uit Antalya (Turkse toeristenstad met 2.2M inwoners). De rest van de woorden spreekt voor zichzelf, geen slecht resultaat! Met als enige schoonheidsfout een hoofdletter vermoed ik dat er niet een veel betere oplossing is. In de toekomst ga ik wat interessantere projectjes doen met dit nieuwe corpus, maar dit was in ieder geval een leuke motivatie om hem samen te stellen.

Wilhelmus deel 2

Toen ik mijn vorige post over Het Wilhelmus in Canon schreef had ik beloofd ook nog canons te schrijven die niet alleen het Wilhelmus gebruiken. Specifiek heb ik het dan over dubbel canons, waarbij je 2 canon schrijft de je simultaan kan spelen. Hierbij dus een extra set canons die je tegelijk kan spelen met de canons op het het Wilhelmus die ik al heb gedeeld. Ik heb de canons die alleen alleen het Wilhelmus bevatten hier weg gelaten, maar hier kun je de volledige set vinden.

Motivatie

De gedachte achter deze set is muzikaal. Daarnaast is het een fijn om een sterkere intuïtie op te bouwen wat betreft canonisch schrijven. Er volgt namenlijk nog een set canons die de vorm tot in het onnodig moeilijke doorwerkt, en waarin de muzikaliteit is gereduceert tot een formaliteit waaraan voldaan moet worden. Maar daarvoor moest ik eerst comfortabeler zijn met de vorm.

Canons

Ik heb bij alle canons naast een audiofragment van het geheel ook audiofragmenten gemaakt waarbij 1 stem 50% luider is dan de rest van de stemmen, bij een aantal canons kan dit het geheel in nieuw perspectief zetten.

Voor de duidelijkheid nog één maal het thema, het eerste deel van het Wilhelmus.
Wilhelmus

In de eerste canon heeft de onderste stem (stem 3) het Wilhelmus terwijl de 2de stem hetzelfde is als de eerste maar achterwaarts gespeeld.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, stem 1 achteruit:
Stem 3 , Wilhelmus:
Geheel:

In de tweede canon zie je het Wilhelmus terug in stem 2 & 4 en een chromatisch thema (veel tonen buiten de toonladder) in stem 1 & 3.

03-Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 1, lager:
Stem 4, Wilhelmus:
Geheel:

Voor de verandering een andere toonsoort:
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, Wilhelmus:
Stem 4, Wilhelmus:
Geheel:

Stem 1 & 2 spelen het Wilhelmus in canon na één tel. Stem 4 is stem 3 na 6 tellen en in omkering.
Wilhelmus

Stem 1, Wilhemus:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, eigen melodie:
Stem 4, stem 3 in omkering:
Geheel:

De eerste 6 stemmige, de niet Wilhelmus canon vind je in stem 3,4 en 6 waarbij stem 3 op half tempo in omkering speelt.
Wilhelmus

Stem 1, Wilhelmus:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 6 half zo snel/op de kop:
Stem 4, stem 6:
Stem 5, Wilhelmus:
Stem 6, eigen melodie:
Geheel:

Een beetje avontuurlijke canon met het Wilhelmus als begeleiding
Wilhelmus

Stem 1, Wilhelmus omkering:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, stem 2 lager:
Geheel:

De tweede 6 stemmige en enige driedubbele canon in omkering, dat wil zeggen dat deze canon bestaat uit 3 2-stemmige canons in omkering.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie I:
Stem 2, eigen melodie II:
Stem 3, Wilhelmus in omkering:
Stem 4, eigen melodie II in omkering:
Stem 5, Wilhelmus in omkering:
Stem 6, eigen melodie I in omkering:
Geheel:

Na de lange intro in stem 2 komt stem 3 binnen als een letterlijke imitatie daarop en stem 1 op dubbel tempo.
Wilhelmus

Stem 1, stem 2 dubbel zo snel:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, stem 2:
Stem 4, Wilhelmus half zo snel:
Geheel:

Stem 1 herhaalt zichzelf een keer maar dan een stukje hoger, dit zorgt ervoor dat dit geheel past boven zichzelf in half tempo in stem 3.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 1 langzamer:
Stem 4, Wilhelmus langzamer:
Geheel:

Tekenend gedichtje

Elke dinsdag geef ik een dagje les op DOE en er werd mij gevraagd om iets over mijzelf te schrijven voor op de website. Het leek me leuk om wat informatie te verstoppen in dit verhaal, als een puzzel. Helaas is het een beetje uit de hand gelopen… Ik heb er in ieder geval wel een blogpost aan over gehouden.

Inspiratie

Met als inspiratie mijn vorige post over priemgetallen en een tekenalgoritme leek het mij in eerste instantie leuk om een gedicht te hebben waarbij de lengtes van de woorden je vertellen hoe je iets moet tekenen voor dat algoritme. Het tekenalgoritme uit de vorige post bleek echter zeer onhandig (ook om uit te leggen in het gedicht zelf). Dus heb ik voor een simpele methode gekozen, oneven woordlengtes zijn een zwart vakje, even woordlengtes een wit vakje. Het plaatje moet natuurlijk dit worden:

doe.png

Als we het zo tekenen hebben we 65 woorden nodig. Het leuke hieraan is dat DOE een afkorting is van een veel langer woord. De som van alle letters (a=1, b=2, etc) van democratisch onderwijs eindhoven is 331. Dit is leuk, niet alleen omdat dit een priemgetal is maar ook omdat 331 / 65 woorden ≃ 5, het gemiddelde aantal letters per woord in de Nederlandse taal. Met andere woorden: Het is mogelijk een gedicht te maken dat het bovenstaande plaatje representeert met een woord per vakje. En het is mogelijk om dat gedicht evenveel letters als de letterwaarde van zijn tekening te geven.

Toen ik daarna ook nog zag dat mijn volledige naam de letterwaarde 113 had – ook een priemgetal. En dat 331 letters / 113 ≃ 3, de precieze verhouding van lettergrepen tot letters. Toen heb ik toch maar een poging gedaan tot een gedichtje.

Gedicht

Neem zodra wat blaadjes (hokjes).
Dertien bij zeg vijf creëren.
Ieder woord hier nu gekozen.
Er mee slim dan associëren.

Woorden lengte net oneven?
Zijn de zwarte polygonen.
Schrijft uit ja dit mooi ontworpen.
Maak een som die past patronen:

A is één, en Z zestwintig,
hoe is dan geteld gevallen?
Neem mijn letters tel geschreven:
vind gelijke priemgetallen!

(Ook lettergrepenaantal nog
naamsommering overigens.)

Verklaring

Hokjes
Neem zodra wat blaadjes (hokjes).
Dertien bij zeg vijf creëren.

Woorden associëren
Ieder woord hier nu gekozen.
Er mee slim dan associëren.

Elk woord heeft een vakje, de simpelste manier is om ze op volgorde in te vullen:

Neem zodra wat blaadjes hokjes Dertien bij zeg vijf creëren Ieder woord hier
nu gekozen Er mee slim dan associëren Woorden lengte net oneven Zijn de
zwarte polygonen Schrijft uit ja dit mooi ontworpen Maak een som die past
patronen A is één en Z zestwintig hoe is dan geteld gevallen Neem
mijn letters tel geschreven vind gelijke priemgetallen Ook lettergrepenaantal nog naamsommering overigens

Oneven woordlengtes
Woorden lengte net oneven?
Zijn de zwarte polygonen.

Een polygon omvat alle veelhoeken, zo ook de hokjes. Elk hokje dat een oneven woordlengte bevat kleuren we zwart, de rest laten we wit.

X X X X X X X X
X X X X X
X X X X X X X
X X X X X
X X X X X X X X

Uitschrijven
Schrijft uit ja dit mooi ontworpen.
Maak een som die past patronen.

DOE staat voor Democratisch onderwijs Eindhoven. Hoe we hier een som van moeten maken is nog niet duidelijk.
Sommeren
A is één, en Z zestwintig,
hoe is dan geteld gevallen?

Democratisch Onderwijs Eindhoven is volgens deze telling gelijk aan 331.

D e m o c r a t i s c h O n d e r w i j s E i n d h o v e n
4 5 13 15 3 18 1 20 9 19 3 8 15 14 4 5 18 23 9 10 19 5 9 14 4 8 15 22 5 14

Neem mijn letters tel geschreven:
vind gelijke priemgetallen!

Het aantal letters in het gedicht is óók precies 331.

Naamsommering
(Ook lettergrepenaantal nog
naamsommering overigens.)

Met dezelfde methodiek als hierboven is “Bob Lucassen” 113, ook een priemgetal en het aantal lettergrepen in het gedicht. Bij wijze van creatieve signatuur.

Priemgetal visualisatie

Een korte post om de stilte te doorbreken!

Handwerk

Even geleden had ik geen laptop tot mijn beschikking, alleen Duplo. Ik ben toen een trap gaan maken die een bocht naar rechts maakt voor elke tree die een priemgetal is. Uiteindelijk ben ik tot 103 treden gekomen met nog een paar blokjes over. Zie hier het resultaat, met rechts een wat duidelijker voorbeeld van wat de bedoeling is:blokjes.jpg
Dit is wat ik mensen laat zien als ze vragen of ik ook wel eens niet achter de computer zit.

De uitdaging was om zo min mogelijk draagconstructie te hebben, zonde van je materiaal! Het is dus belangrijk om vanaf het begin te weten hoe de trap zich beweegt. Daarvoor moet je een soort bovenaanzicht maken van de hoekpunten van de trap:

De priemgetallen <= 100: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
first100primes_arrows.png
Een wit vakje is meerdere keren betreden

Rekenwerk

De trap heeft ongeveer 5 minuten gestaan voor hij spontaan omviel, maar dat diagram heeft later nog mijn nieuwsgierigheid gewekt. Dit is een video van het tekenen van dit diagram voor de eerste biljoen (10¹²) treden, in de laatste paar seconde wordt de helft van de treden gezet (500 miljard) door de steeds verregaande versnelling:

 

Je kunt behalve priemgetallen ook andere lijsten nummers in deze fictieve tekenaar stoppen, waarbij wederom de nummers in de reeks bepalen welke treden hoekpunten zijn. Veel reeksen, zoals de kwadraten (1,4,9,16,..), Pascals driehoek, Catalaanse nummers, Douglas Hofstadter’s zelf refererende reeksen, en nog veel meer voorbeelden maken simpelweg 4 diagonale lijnen, wat in trapvorm een soort omgekeerde piramide zou worden. Dit gebeurt omdat het geometrische of bijna geometrische reeksen zijn, niet zo interessant dus. Maar functies met niet steeds hoger wordende waardes kunnen verrassende effecten hebben, zoals Mertens’ functie (eerste 10⁶ waarden), die moderne kunst produceert:

frame_00744

Eigen reeks

Als je de verschillen tussen de nummers in een reeks pakt:
2,3,5,7,11,13 wordt dan 2-0, 3-2, 5-3, 7-5, 11-7, 13 – 11.
Dan is de hoeveel stappen tussen 2 draaien naar rechts gelijk aan deze verschillen. Het is dan ook mogelijk om een verschil van 0 te hebben, waardoor je op je plek naar rechts draait. Je kan nu elke vorm tekenen die verbindbaar is met een rechte lijn, een rechte lijn maken werkt dan zo (in verschillen opgegeven):
1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,..
We lopen 1 stap in de huidige richting, draaien naar rechts, draaien nogmaals 3 keer naaar rechts en lopen weer 1 stap.

Je kunt zo voor bijvoorbeeld elk cijfer een plaatje maken, en met een beetje puzzelen kun je elk cijfer ook dezelfde hoeveelheid stappen in laten ne nemen door waar nodig een rondje op de wplek te draaien.

Wat nu leuk zou zijn is om een reeks te maken die cijfers tekent, en dan het liefst de cijfers van die reeks zelf:test.png
De eerste 50 waarden zijn : 0,0,0,0,1,0,0,2,1,1,2,1,2,2,2,4,0,0,0,0,1,0,0,2,1,
1,2,1,2,2,2,4,0,0,0,0,1,0,0,2,1,1,2,1,2,2,2,4,0,0,0,0,1,0,0,2,1,1,2,1,2,
2,2,4,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,2,0,2,4,0,0, etc.
Dit is het bovenaanzicht na een paar 100 stappen:
frame_00080De onhandige grote constante waarmee deze formule begint bevat de informatie voor het tekenen van de cijfers.

De ongedocumenteerde code voor het genereren van deze plaatjes staat op github. Als er nog suggesties zijn wat betreft reeksen om te tekenen hoor ik het graag.

 

Woordmachientje

Iedereen heeft als kind wel eens een rekenmachine op de kop gehouden en opgemerkt dat de cijfers letters kunnen voorstellen. Meestal deze:

mapping.png
In deze post mag het cijfer ‘0’ ook een D voorstellen. D, O, I, Z, E, S, L worden in het vervolg als d, o, i, z, e, s, l geschreven om alles wat makkelijker leesbaar te maken (heleboel in plaats van hELEbOEL).

Langste woorden

Je kan dan leuke woorden spellen zoals lol (707) of heleboel (73083734). Ongeveer 0.5% van alle woorden kunnen worden getypt op een rekenmachine. Uit het Groene Boekje (100.000 woorden) zijn het er bijvoorbeeld 447. Het langste woord dat geschreven kan worden op de rekenmachine is niet biologieles zoals vaak wordt beweerd, of zelfs gezelligheid (mag gezelligheidsgedoe?) maar geldigheidsgebied. Wellicht vind je geldigheidsgebied een beetje gek en hobbeldebobbel valsspelen maar bloedeloosheid en ideologieloos zijn toch zeker een verbetering, voor de 12 cijferige calculator althans.

Sommen

Wat natuurlijk echt leuk is zijn de sommen die je kan maken, waarbij een optelsom van 2 woorden een nieuw woord oplevert. Een bekende variant van zo’n sommetje is lol+lol = hihi, want 707+707 = 1414. In de Opperlandse taal- & letterkunde van Battus (Hugo Brandt Corstius) wordt dit fenomeen ook al onderzocht, maar hier worden slechts enkele betekenisloze sommetjes gegeven. Dat kan beter! Van de vorm woord+woord=woord zijn in het Groene Boekje 554 oplossingen. De oplossing met de langste woorden is doezelig+bosgod = bobbelig. Maar ja, probeer daar maar eens een verhaal bij te verzinnen.

Sommige zijn wel heel logisch:
leeggebloede = doodgebloede + leeg
gegooide + ooi = gelooide

Maar deze zijn toch aardig:
goddeloos + del = geldeloos
gebelgde + edels = bezielde
godloos + goedig = zieligs

Deze 554 oplossingen waren nog wel met de hand te beoordelen, maar we kunnen maar liefst 33 duizend oplossingen vinden van de vorm woord+woord+woord = woord, zoals:
god + god + doelloos = zielloos
deels + dode + bob = bezig
zozo + dosis + lesbo = bezig

gebied + heil + god = globe
deze + olie + gel = geil
doodgoed + deze + god = gezegde
ziezo + deze + les = blog

Een greep uit andere soorten sommen:
doezel = ezel * ooi
doezelig = (doddig+ezel) * ooi
zeebioloog = bioloog*dooi + zee
zielloos = zieligheid + heilloos – heiligheid

Hoe langer de sommen hoe meer je kan zeggen, zoals deze aardige kritiek:
Bobs+blog+idee + die+zooi+geheid = gedoe

Want dat is het zeker! Al deze betekenis betekent vooral dat er te veel oplossingen zijn. Meer regels maken dus! Hier een woordvierkant met calculatorwoorden, die ook nog eens optelbaar zijn:
h o e +
o d e +
e e d = leg

Er is nog veel meer mogelijk, maar dat laat ik over als een opdracht aan de lezer.

 

Wilhelmus in Canon

Wilhelmus in Canon

Het is mij al even geleden opgevallen dat de melodie van het Wilhelmus op verscheidende manieren in canon past. Eerder heb ik al geprobeerd hier meer over te vinden maar ik heb dit nog nergens anders gezien. Het lijkt zeer onwaarschijnlijk dat dit niemand is opgevallen. Zoals Andriessen, terwijl hij bezig was met zijn Rhapsodie voor orkest op het Wilhelmus. Of de Bach-liefhebber Anton van der Horst, die een halfuurdurende zetting van tekst en melodie heeft gecomponeerd en alleen de simpelste canon zeer minimalistisch heeft gebruikt in de 7de strofe. Hij gebruikt hier vreemd genoeg precies dezelfde canon met identieke instrumentatie vier keer. Het lijkt me hoe dan ook interessant om een inventaris te maken van de mogelijkheden van het Wilhelmus op dit gebied.

Canon

Een muzikale canon is een vorm waarbij dezelfde melodie meerdere keren wordt gespeeld maar elke instantie is getransformeerd. De transformaties kunnen vele vormen aannemen: het veranderen van het beginpunt, zowel met betrekking tot tijd als toonhoogte, de noten gespiegeld lezen over de horizontale of verticale as, langzamer of sneller spelen, of een combinatie van deze opties.

Geschiedenis

Het Wilhelmus is in 1626 in zijn huidige vorm opgeschreven door Adriaen Valerius. Het is een variatie op een Franse melodie uit, in ieder geval zo vroeg als, 1568. De koppeling van deze Franse melodie en de tekst van het Wilhelmus stamt uit 1607.

00_original.png

Het moderne Wilhelmus verschilt nauwelijks met zijn voorloper.

01_modern

Het belangrijkste verschil voor de canons is de voorlaatste noot die veranderd is in een A in plaats van een B, dit maakt sommige canons mogelijk en andere juist onmogelijk. Het is dus moeilijk inschatten of Valerius zich bewust was van de canonische mogelijkheden. Ik denk zelf van niet, aangezien een G of een C op diezelfde plek een verbetering zijn.

Basis canons

Deze canons maken enkel gebruik van het verschuiven in tijd en toonhoogte. De eerste canon is alleen verschoven in tijd en dus van hetzelfde type als ‘Vader Jacob’. Probeer bij het luisteren ook eens de basstem afzonderlijk te volgen.

02_canon_octave.png

In de tijd verschuiven is niet de enige mogelijkheid, je kunt ook op een andere toon beginnen.

03_canon_fifth.png

Zelfs een zeer korte tijdsafstand werkt zonder problemen:04_canon_beat

Logisch is om je nu af te vragen of dit ook met 3 of 4 stemmen kan. Bij deze driestemmige canon is het leuk om de middelste stem (tweede stem die binnen komt) duidelijk te blijven volgen na het binnenkomen van de bovenstem:

05_3voice

En de stem op de kwint kan wederom worden herhaald op het octaaf om zo vier stemmen te krijgen. Het opvallende loopje op “va-(ha)-n na-(ha)-souw” wat de aandacht steeds van de ene stem naar de andere verplaatst is leuk om naar te luisteren.

06_4voice

Omkering

Naast het verschuiven in tijd en toonhoogte zijn er nog andere transformaties mogelijk, zoals de omkering: het op de kop spelen van een melodie waarbij elke beweging omhoog omlaag wordt en vice versa. Luister hier naar de omkering van het Wilhelmus.

07_inversion

In de volgende canon kun je horen hoe de tweede stem een omkering is van de eerste stem.

08_inversion_canon

Augmentatie

Zelfs de augmentatie (het langzamer spelen van een melodie) lijkt mogelijk in combinatie met het origineel, helaas komen we bij deze constructie een parallelle kwint tegen. Dit betekent dat twee stemmen samen te zuiver klinken waardoor het effect van meerstemmigheid en een sterke harmonie verloren gaat. Om deze reden voegen we een melisma (meerdere noten in één lettergreep) toe, zoals Valerius voor ons. Harmonisch komt de melodie hierdoor weer dichter bij het origineel:

09_ornamented

Nu kan een tweede stem het Wilhelmus half zo snel zingen:

10_augmentation

Of zelfs half zo snel en op de kop!

11_augmentation_inversion

Natuurlijk moeten deze mogelijkheden ook in 3 en 4 stemmen worden gecombineerd. Deze driestemmige canon bestaat uit de normale Wilhelmus melodie, de omkering op half tempo en de normale melodie op kwart tempo:

12_double_augmentation

Deze canon bestaat uit 2 stemmen die het normale Wilhelmus spelen en 2 stemmen die het Wilhelmus op de kop en op half tempo spelen, en allemaal op een andere tijd beginnen.

13_4voice_augmentation_inversion

En de laatste bestaat uit 2 stemmen die op de kop en in half tempo het Wilhelmus spelen (beide beginnen op een ander moment), 1 stem die het gewone Wilhelmus speelt en 1 stem die het Wilhelmus op kwart tempo speelt. Dit combineert alle voorgaande elementen:

14_complete

Conclusie

Het Wilhelmus is een melodie met bijzondere eigenschappen waar nog niet eerder gebruik van is gemaakt. Ik zal in de toekomst een uitgebreidere set canons delen met ook dubbele canons en meer variaties op de melodie om zo deze mogelijkheden beter tot hun recht te laten komen dan nu het geval is.