Wilhelmus deel 2

Toen ik mijn vorige post over Het Wilhelmus in Canon schreef had ik beloofd ook nog canons te schrijven die niet alleen het Wilhelmus gebruiken. Specifiek heb ik het dan over dubbel canons, waarbij je 2 canon schrijft de je simultaan kan spelen. Hierbij dus een extra set canons die je tegelijk kan spelen met de canons op het het Wilhelmus die ik al heb gedeeld. Ik heb de canons die alleen alleen het Wilhelmus bevatten hier weg gelaten, maar hier kun je de volledige set vinden.

Motivatie

De gedachte achter deze set is muzikaal. Daarnaast is het een fijn om een sterkere intuïtie op te bouwen wat betreft canonisch schrijven. Er volgt namenlijk nog een set canons die de vorm tot in het onnodig moeilijke doorwerkt, en waarin de muzikaliteit is gereduceert tot een formaliteit waaraan voldaan moet worden. Maar daarvoor moest ik eerst comfortabeler zijn met de vorm.

Canons

Ik heb bij alle canons naast een audiofragment van het geheel ook audiofragmenten gemaakt waarbij 1 stem 50% luider is dan de rest van de stemmen, bij een aantal canons kan dit het geheel in nieuw perspectief zetten.

Voor de duidelijkheid nog één maal het thema, het eerste deel van het Wilhelmus.
Wilhelmus

In de eerste canon heeft de onderste stem (stem 3) het Wilhelmus terwijl de 2de stem hetzelfde is als de eerste maar achterwaarts gespeeld.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, stem 1 achteruit:
Stem 3 , Wilhelmus:
Geheel:

In de tweede canon zie je het Wilhelmus terug in stem 2 & 4 en een chromatisch thema (veel tonen buiten de toonladder) in stem 1 & 3.

03-Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 1, lager:
Stem 4, Wilhelmus:
Geheel:

Voor de verandering een andere toonsoort:
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, Wilhelmus:
Stem 4, Wilhelmus:
Geheel:

Stem 1 & 2 spelen het Wilhelmus in canon na één tel. Stem 4 is stem 3 na 6 tellen en in omkering.
Wilhelmus

Stem 1, Wilhemus:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, eigen melodie:
Stem 4, stem 3 in omkering:
Geheel:

De eerste 6 stemmige, de niet Wilhelmus canon vind je in stem 3,4 en 6 waarbij stem 3 op half tempo in omkering speelt.
Wilhelmus

Stem 1, Wilhelmus:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 6 half zo snel/op de kop:
Stem 4, stem 6:
Stem 5, Wilhelmus:
Stem 6, eigen melodie:
Geheel:

Een beetje avontuurlijke canon met het Wilhelmus als begeleiding
Wilhelmus

Stem 1, Wilhelmus omkering:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, stem 2 lager:
Geheel:

De tweede 6 stemmige en enige driedubbele canon in omkering, dat wil zeggen dat deze canon bestaat uit 3 2-stemmige canons in omkering.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie I:
Stem 2, eigen melodie II:
Stem 3, Wilhelmus in omkering:
Stem 4, eigen melodie II in omkering:
Stem 5, Wilhelmus in omkering:
Stem 6, eigen melodie I in omkering:
Geheel:

Na de lange intro in stem 2 komt stem 3 binnen als een letterlijke imitatie daarop en stem 1 op dubbel tempo.
Wilhelmus

Stem 1, stem 2 dubbel zo snel:
Stem 2, eigen melodie:
Stem 3, stem 2:
Stem 4, Wilhelmus half zo snel:
Geheel:

Stem 1 herhaalt zichzelf een keer maar dan een stukje hoger, dit zorgt ervoor dat dit geheel past boven zichzelf in half tempo in stem 3.
Wilhelmus

Stem 1, eigen melodie:
Stem 2, Wilhelmus:
Stem 3, stem 1 langzamer:
Stem 4, Wilhelmus langzamer:
Geheel:

Perfect fourth

This is a second spin off of the future post “A search for interesting canons part 2” (part 1), (previous spin off) . Like the previous one this post is probably not interesting to you if you’re not into musical theory, but I’ll try to avoid jargon.  When searching for the best melody in canon it is necessary to define the rules of counterpoint, and for the most part I follow common practice rules. I do have 2 personal exceptions that I would like to document real quick, the first one is about the dissonance of the fourth.

Recap

In general 2 frequencies that share more harmonics (and conversely have a simpler ratio) sound better to the human ear. And the ideas of counterpoint adopt this with one exception: the perfect fourth. While in the case of the second and third their inverse frequency ratios (respectively the seventh and sixth) are treated the same, the perfect fourth is not treated identically to its inverse the perfect fifth. Specifically, it is treated as a dissonance when the interval occurs between the bass and another voice.

Reason for dissonance

The given reason for this is that with the interval of the fourth you can only deduce one consonant chord, with the top note of the interval as its root. Generally people prefer to hear the bottom note as the root. When you build a chord from the bottom note, the fourth is a dissonant note within that chord. The question is of whether the fourth is consonant is equivalent to asking whether you think you’re listening to one chord or another.

There might be a larger harmonic context that biases your interpretation of the chord. But at its basis you want to listen to whether you want the “fourth” to move downward to resolve an audible dissonance. Note that all of these are dissonant when following common practice counterpoint rules.
chords.png
The red ones have tension to my ear, the black ones sound consonant like F-major chords to me.

Conclusion

So rather than classify all perfect fourths as dissonant and disqualifying them, here are my two personal exceptions: The interval of an octave and a fourth can not be bare.
And: Any chord in the second inversion must be harmonically as sensible as the same chord interpreted as a root chord.

The bare octave+fourths sounding dissonant also makes sense considering the sparse overlap in their harmonic series compared to octave+third or octave+fifth.

Retrograde

My post “A search for interesting canons part 2” (part 1) is getting longer and longer so I decided to spin off a couple of minor parts into separate posts to keep everything manageable. This post is probably not interesting to you if you’re not into musical theory.

Traditional

Retrograde refers to playing music backwards. For at least 500 years (without exception as far as I know except the literal signal reversal that exists in electronic music), this is done as such:visual.png

These 3 examples show some of the most basic movements, a rising figure, a back and forth figure and a cross figure. You can see how the rising figure in ex.1 become a back and forth figure. And the back and forth figure becomes a falling figure in ex.2. And how the cross figure in ex.3 is broken in two separate pieces.

These motive-breaking transformations are considered a fact of life when playing something in retrograde and they are generally the basis of much critism against retrograde (it being just a intellectual visual trick) It is probably also an important contributor to the rarity of retrograde as a contrapuntal device (compared to inversion or augmention) as it is hard to write melodies that sound good in retrograde, especially in counterpoint.

Audible

So I want to propose a more audible retrograde, the main problem with the visual retrograde is that the note durations are wrong, when looking at a theme played backwards and looking at the space between adjacent notes it becomes intuitively obvious that you should use the time value of the next note as duration for the current:
retrograde_explanation

This creates a retrograde much closer to an actual sound-retrograde. The duration of the first note can be anything when it’s the actual last note to be played. When the reversed music is repeated you simply use the time value of the first(retrograde first) duration.

The audible retrograde of the example motives is written as such:

visual_retrograde

While it does not look as striking it does retain all the basic motives. Making it easier on the ear, easier to hear as a transformation and easier to write for. And so it’s the retrograde that I will focus on in my future posts.

Wilhelmus in Canon

Wilhelmus in Canon

Het is mij al even geleden opgevallen dat de melodie van het Wilhelmus op verscheidende manieren in canon past. Eerder heb ik al geprobeerd hier meer over te vinden maar ik heb dit nog nergens anders gezien. Het lijkt zeer onwaarschijnlijk dat dit niemand is opgevallen. Zoals Andriessen, terwijl hij bezig was met zijn Rhapsodie voor orkest op het Wilhelmus. Of de Bach-liefhebber Anton van der Horst, die een halfuurdurende zetting van tekst en melodie heeft gecomponeerd en alleen de simpelste canon zeer minimalistisch heeft gebruikt in de 7de strofe. Hij gebruikt hier vreemd genoeg precies dezelfde canon met identieke instrumentatie vier keer. Het lijkt me hoe dan ook interessant om een inventaris te maken van de mogelijkheden van het Wilhelmus op dit gebied.

Canon

Een muzikale canon is een vorm waarbij dezelfde melodie meerdere keren wordt gespeeld maar elke instantie is getransformeerd. De transformaties kunnen vele vormen aannemen: het veranderen van het beginpunt, zowel met betrekking tot tijd als toonhoogte, de noten gespiegeld lezen over de horizontale of verticale as, langzamer of sneller spelen, of een combinatie van deze opties.

Geschiedenis

Het Wilhelmus is in 1626 in zijn huidige vorm opgeschreven door Adriaen Valerius. Het is een variatie op een Franse melodie uit, in ieder geval zo vroeg als, 1568. De koppeling van deze Franse melodie en de tekst van het Wilhelmus stamt uit 1607.

00_original.png

Het moderne Wilhelmus verschilt nauwelijks met zijn voorloper.

01_modern

Het belangrijkste verschil voor de canons is de voorlaatste noot die veranderd is in een A in plaats van een B, dit maakt sommige canons mogelijk en andere juist onmogelijk. Het is dus moeilijk inschatten of Valerius zich bewust was van de canonische mogelijkheden. Ik denk zelf van niet, aangezien een G of een C op diezelfde plek een verbetering zijn.

Basis canons

Deze canons maken enkel gebruik van het verschuiven in tijd en toonhoogte. De eerste canon is alleen verschoven in tijd en dus van hetzelfde type als ‘Vader Jacob’. Probeer bij het luisteren ook eens de basstem afzonderlijk te volgen.

02_canon_octave.png

In de tijd verschuiven is niet de enige mogelijkheid, je kunt ook op een andere toon beginnen.

03_canon_fifth.png

Zelfs een zeer korte tijdsafstand werkt zonder problemen:04_canon_beat

Logisch is om je nu af te vragen of dit ook met 3 of 4 stemmen kan. Bij deze driestemmige canon is het leuk om de middelste stem (tweede stem die binnen komt) duidelijk te blijven volgen na het binnenkomen van de bovenstem:

05_3voice

En de stem op de kwint kan wederom worden herhaald op het octaaf om zo vier stemmen te krijgen. Het opvallende loopje op “va-(ha)-n na-(ha)-souw” wat de aandacht steeds van de ene stem naar de andere verplaatst is leuk om naar te luisteren.

06_4voice

Omkering

Naast het verschuiven in tijd en toonhoogte zijn er nog andere transformaties mogelijk, zoals de omkering: het op de kop spelen van een melodie waarbij elke beweging omhoog omlaag wordt en vice versa. Luister hier naar de omkering van het Wilhelmus.

07_inversion

In de volgende canon kun je horen hoe de tweede stem een omkering is van de eerste stem.

08_inversion_canon

Augmentatie

Zelfs de augmentatie (het langzamer spelen van een melodie) lijkt mogelijk in combinatie met het origineel, helaas komen we bij deze constructie een parallelle kwint tegen. Dit betekent dat twee stemmen samen te zuiver klinken waardoor het effect van meerstemmigheid en een sterke harmonie verloren gaat. Om deze reden voegen we een melisma (meerdere noten in één lettergreep) toe, zoals Valerius voor ons. Harmonisch komt de melodie hierdoor weer dichter bij het origineel:

09_ornamented

Nu kan een tweede stem het Wilhelmus half zo snel zingen:

10_augmentation

Of zelfs half zo snel en op de kop!

11_augmentation_inversion

Natuurlijk moeten deze mogelijkheden ook in 3 en 4 stemmen worden gecombineerd. Deze driestemmige canon bestaat uit de normale Wilhelmus melodie, de omkering op half tempo en de normale melodie op kwart tempo:

12_double_augmentation

Deze canon bestaat uit 2 stemmen die het normale Wilhelmus spelen en 2 stemmen die het Wilhelmus op de kop en op half tempo spelen, en allemaal op een andere tijd beginnen.

13_4voice_augmentation_inversion

En de laatste bestaat uit 2 stemmen die op de kop en in half tempo het Wilhelmus spelen (beide beginnen op een ander moment), 1 stem die het gewone Wilhelmus speelt en 1 stem die het Wilhelmus op kwart tempo speelt. Dit combineert alle voorgaande elementen:

14_complete

Conclusie

Het Wilhelmus is een melodie met bijzondere eigenschappen waar nog niet eerder gebruik van is gemaakt. Ik zal in de toekomst een uitgebreidere set canons delen met ook dubbele canons en meer variaties op de melodie om zo deze mogelijkheden beter tot hun recht te laten komen dan nu het geval is.

A search for interesting canons (part 1)

Starting point

Canons in the common practice period are relatively uncommon. Apart from for example canons by Bach (BWV 1087, BWV 1097) and works by Josquin de Prez or Palestrina there seem to be few elaborate uses of canon. This post aims to be a starting point for me in exploring the nature and limits of canonic writing in conventional harmony.

Ideally one would to try every possible theme of minimal melodic quality with every possible canonic technique and select those with interesting properties. Since there are however infinite themes the problem needs to be bounded. The starting point will be Bach’s 14 canons on the ground bass of the Goldberg variations (BWV 1087).

Herein Bach wrote 14 canons that all contain the same 8 quarter note theme, usually in canon with itself and usually in double canon. Bach proceeds to show how this theme fits with its retrograde, how the inversion of the theme fits with it’s own retrograde, how the theme fits with its inversion and how the inverted theme fits with its own inversion.

Just like Bach we will just consider 8 note diatonic themes, naively there are 7⁸ (5.7 million) possible diatonic 8 note themes and we’ll hopefully find the best.

Symmetry

There are some isomorphisms to consider. I consider any 2 themes where one can be transformed in the other using these transformations isomorphic and so part of the same equivalence class:

Translation refers to changing the starting point of the theme and wrapping around, these are identical because we will be considering canonic rounds. Octavation refers not just to the octave in which the theme is played but to the particular octave of any note. I think in the case of most themes there is one obvious octave for each note to be in, and in other cases it is far more efficient to consider the multiple options in a much later stage so that we can for the moment encode notes without this information and keep the amount of themes at 7⁸ instead of ~88⁸.

Pruned in such a way there just 27.253 themes (actually equivalence classes) left, there are some other limitations that should be imposed:

  • At least 5 of the 7 diatonic notes should be present for sufficient harmonic interest.
  • Themes should not be their own translation because of the obvious symmetry.
  • Themes should not be their own retrogrades, for the same reason.
  • No repetition of notes, except once to allow for the same start and end note.
  • No 3 note pattern should be literally repeated.

The no repetition of notes is because this is contrapuntally very close to having a different rhythm, something that will only be tackled at a later stage. With these limitations applied there are now less than 15.000 themes left. Looking at these there are still some clearly unfit themes but I do not believe there are false negatives.

How canonic is a theme?

Next the selected themes will be sorted by how many contrapuntally valid combinations each theme has with its isomorphs. Naively one theme has ~224 isomorphs (7 transpositions * 8 rotations * 2 inversions * 2 retrogrades) barring symmetries, and you can combine any isomorph with any other isomorph making for 224² – 224 (not with themselves) combinations. Counterpoint is however just as isomorphic as themes, so theme + theme rotated by 1 is equal to inversion + inversion rotated by 1, or inversion + retrograde inversion rotated by 3, is contrapuntally equal to theme + retograde rotated by 3, which is equal to theme rotated by -3 (= 5) + retrograde if you wish. You can obviously transform any set of 2 isomorphic themes so that one of the themes is untransformed. This means that we just have to compare the theme with all its isomorphs: just 224 combinations. Additionally we don’t want to see the theme and its own transpositions, since that is just playing the same notes at different pitches. Lastly the combination of theme + theme rotated by N is the same as theme + theme rotated by 8-N, because the difference between those two is just swapping the voices. This also goes for the inversion. This leaves 175 real isomorphic combinations to check, in practice the good themes that suit themselves well in counterpoint have some hidden reflections that the human ear does not pick up on, unifying many of these positions.

The rules of counterpoint used are mostly like Fux’s but are much more permissive of the fourth as all these combinations of 2 themes will probably be combined in a larger whole and because the symmetry makes for a cleaner abstraction.

Result

Bach’s theme (cbagefgc) is quite respectable, it looks like this when combined with all its isomorphs, of these Bach only used the ones on beat 0(same time) or beat 4(after one bar):bachcp.png

The reflections in some of the top scoring themes is obvious but the first non-trivial theme (cdedcbgb), and the result of this post is quite pleasant thematically and combines extremely well:

cdedcbgb.png

You can listen to it here: https://musescore.com/user/6168221/scores/1489061. It starts off just showing the combination of the 8 note theme with itself and then also shows the theme in double canon with free melodies. It also shows augmentation canons. It is very much a work in progress and requires at least another dozen canons to form a complete set.

Future

Next it might seem obvious to consider chromatic themes. In practice however successful chromatic themes (using chromatic inversion) are all on the whole tone scale so that the inversion and retrograde inversion work. Chromatism in canons is made much easier by allowing some rhythm and doesn’t seem to work for well or meaningfully for these short equal note length themes.

For 12 tone rows applying the same isomorphism there are just 853.810 rows as opposed to 12!, 2031 of those combine with 16 of their own isomorphs, for example (a# b f# g e a g# f d d# c# c). The resulting counterpoint is obviously strange, without direct dissonants yet with false relations at every beat.

The above work is all done within a second in a single CPU core so there is much room for improvement. I just finished an algorithm that can explore the complete space of 16 note themes in a couple minutes. I will do a follow up post about its inner workings and results once I verified everything.

Themes that fit all rotations with itself (19): gefecbga, gefecdga, cgbaegbc, gedbcdga, bgdafcge, aegdfceb, eabgafge, geabcdea, cgegbdfc, gedbadea, eadgafge, cgfagbdc, agbdcegf, eadgcfge, geacadbg, gedbadga, cbdacgbc, befecdga, cabgadbc.

Themes that fit in all rotations (except 0) with its inversion (6): agfdcbag, cagceabc, agfedcae, cdedcbgb, bgdebcdc, cbegadcb.

There are no themes that fit at every rotated retrograde, or even every rotated retrograde but 1, but there are 3 themes that fit at all but 2: cdedcbgb (4,6), agfdcbag (6,7), bcdabcgc (1,2).

There are 6 themes that fit at every position in retrograde inversion: bgdafcge (16), cadecdbc (15), gedbadea (15), befecdga (14), agbdcegf (13), gefecbea (13).